Dlaczego suche spaghetti nie pęka na dwa kawałki?

Suche spaghetti trzymane za końce i zginane aż do trzasku rzadko dzieli się na dwie połówki. Na blacie lądują trzy kawałki, czasem cztery, czasem kilka krótszych, które odskakują od dłoni.

Łatwa odpowiedź brzmi: makaron jest kruchy i pęka w najsłabszym miejscu, a skoro wad jest kilka, pęka w kilku punktach naraz. Brzmi rozsądnie. Jest niepełna.

Zacząłem to sprawdzać, bo zagadka ma dziwną historię. Richard Feynman spędził z nią wieczór w kuchni i nie zostawił dobrego modelu. W 2005 roku Basile Audoly i Sébastien Neukirch opisali, co dzieje się po pierwszym pęknięciu. Trzynaście lat później zespół z MIT pokazał, że dwa kawałki da się dostać, ale nie samym zginaniem, do którego przyzwyczaja ręka.

Najprostsza odpowiedź, która wytrzymuje laboratorium, jest taka. Pierwsze pęknięcie nie kończy sprawy. Uwalnia falę zginania. Ta fala lokalnie dogina pozostały pręt mocniej, niż był wygięty przed chwilą. Kolejny pęk jest skutkiem tej fali, nie osobnego gestu palców.

Trzy kawałki na blacie

Gest jest prosty. Bierze się jeden suchy makaron, chwyta końce i zbliża je do siebie, aż pręt pęknie. W statyce cienkiego pręta pierwsze złamanie powinno nastąpić tam, gdzie krzywizna jest największa albo gdzie siedzi najgroźniejszy defekt. Gdyby na tym się kończyło, zostałyby dwa fragmenty.

Audoly i Neukirch piszą, że suche spaghetti zginane poza krzywiznę graniczną „często pęka na więcej niż dwa kawałki, zazwyczaj trzy albo cztery”. W dalszej części listu podają szerszy zakres: zwykle od trzech do dziesięciu.^[1] To nie jest twierdzenie, że dwa kawałki są fizycznie zakazane. Jest to opis tego, co wychodzi przy zwykłym, powolnym zginaniu rękami.

W kuchni łatwo pomylić dwa pytania. Jedno: gdzie pęka pierwszy raz. Drugie: dlaczego zaraz potem pęka jeszcze raz. Feynman i większość demonstracji internetowych mieszają je w jedno: „czemu zawsze wychodzą trzy”.

Nie zawsze wychodzą dokładnie trzy. Często wychodzi więcej niż dwa.

Feynman i miska okruchów

Opowieść, która przykleiła się do tematu, pochodzi od W. Daniela Hillisa. W książce Christophera Sykesa No Ordinary Genius wspomina wieczór, kiedy z Feynmanem gotowali spaghetti i zaczęli łamać suche nitki, żeby zrozumieć, czemu nie dzielą się na pół.^[2][3]

Hillis mówi, że prawie zawsze wychodziły trzy kawałki. Przez kolejne dwie godziny wymyślali teorie i próby, w tym łamanie pod wodą, bo podejrzewali drgania i dźwięk. Skończyło się na kuchni pełnej połamanych makaronów i braku dobrego modelu.^[3][4]

Cytat, w tłumaczeniu własnym, jest krótki i dość dosadny: „skończyliśmy po paru godzinach z połamanym spaghetti po całej kuchni i bez naprawdę dobrej teorii, dlaczego spaghetti pęka na trzy”.^[4]

Feynman zmarł w 1988 roku. Publikacja Audoly'ego i Neukircha ukazała się 25 sierpnia 2005 w Physical Review Letters.^[1] Między kuchnią a modelem minęło sporo czasu, w którym zagadka krążyła jako anegdota, a nie jako zamknięty problem mechaniki.

Pierwsze pęknięcie uruchamia następne

Audoly i Neukirch nie zaczynają od statystyki okruchów. Biorą cienki, kruchy pręt zginany powoli, aż krzywizna dochodzi do granicy. W chwili pierwszego pęknięcia szczelina przecina przekrój. Z jednego pręta robią się dwa. Każda nowa połówka ma nagle wolny koniec, który jeszcze przed chwilą przenosił moment zginający.

Ten wolny koniec musi pozbyć się krzywizny. Nie robi tego jak deska do skoków, która wraca do prostej i kiwa się w swoim podstawowym rytmie. Relaksacja jest gwałtowna. Z końca wychodzi pakiet fal zginających. W pewnych miejscach krzywizna rośnie powyżej wartości, przy której pręt dopiero co pękł.^[1]

To jest ta nieintuicyjna część. Zdjęcie obciążenia powinno odciążyć materiał. Tutaj pierwsze złamanie odciąża jeden przekrój i jednocześnie dogina inne.

Żeby to zobaczyć, autorzy zrobili prostszy wariant, który nazywają eksperymentem równoważnym katapulcie. Spaghetti Barilla nr 1 o długości 24,1 cm zaciskali na jednym końcu, wyginali w łuk o 195 stopni (tuż poniżej krzywizny granicznej) i nagle puszczali drugi koniec. Kamera szła z szybkością 1000 klatek na sekundę.^[1]

Pręt pękł 6,7 milisekundy po puszczeniu, w odległości 0,76 długości od wolnego końca. Charakterystyczny czas T, zmierzony z drgań swobodnych, wyniósł 114 milisekund, więc pęknięcie przyszło po 5,85 setnych tego czasu. Padło tam, gdzie model przewidywał maksimum krzywizny, bez dopasowywania parametrów do tej jednej klatki.^[1]

W reżimie pośrednim, zanim fala odbije się od zaciśniętego końca, rozwiązanie jest uniwersalne. Krzywizna dochodzi do 1,428 raza wartości początkowej. Współczynnik nie zależy od makaronu: to podwojone maksimum całki sinusowej Fresnela. Później, gdy pakiet odbija się od zacisku, numerycznie krzywizna sięga nawet 3,12 raza wartości początkowej.^[1]

Stąd kaskada. Nowy pęk tworzy nowy wolny koniec. Nowy koniec wysyła nowy pakiet fal. Fragmenty są krótsze, więc ich czas własny jest krótszy. Proces hamuje dyssypacja: pęknięcie zużywa energię, fale zginające gasną, a materiał nie jest idealnie sprężysty.

W dwudziestu pięciu powtórzeniach, przy różnych średnicach (Barilla nr 1, 5 i 7) i różnych krzywiznach początkowych, miejsca i chwile pęknięć układały się na wykresie czas-położenie wzdłuż rekordów krzywizny z symulacji. Znów bez wolnych parametrów dopasowywanych do każdego strzału.^[1]

To nie jest kiwanie jak na trampolinie

Najprostszy obraz, który przychodzi do głowy, jest taki: pręt po pęknięciu drga w swoim pierwszym trybie, jak linijka zepchnięta ze stołu. Wtedy krzywizna nie powinna przekroczyć wartości sprzed puszczenia. Wracalaby do niej co pół okresu, gdy pręt wygina się w drugą stronę.

Audoly i Neukirch pokazują, czemu ten obraz kłamie. Okres drgań swobodnych wynosi około 1,79 T. Tymczasem pęknięcie po puszczeniu przychodzi dużo wcześniej, po kilku setnych T. Winny jest krótki, ostry pakiet fal z końca, którego podstawowy tryb nie opisuje.^[1]

Jest jeszcze warstwa, której kamera 1000 klatek na sekundę już nie rozstrzyga. Szczelina potrzebuje skończonego czasu, żeby przebiec średnicę makaronu. Autorzy szacują tę skalę na około mikrosekundę: promień przekroju podzielony przez prędkość dźwięku w materiale. Dla spaghetti stosunek długości do promienia jest rzędu 250, więc między mikrosekundą pęknięcia przekroju a milisekundami fal zginających leżą trzy albo cztery rzędy wielkości.^[1]

W 2018 roku Ronald Heisser, Vishal Patil i współpracownicy sfilmowali pierwsze pęknięcie z szybkością do miliona klatek na sekundę. Nukleacja i powolny wzrost szczeliny trwały około 10 milisekund. Katastrofalne przecięcie przekroju zajmowało około 10 mikrosekund, blisko prędkości dźwięku w materiale. Dopiero potem, na wolniejszej skali fal zginających, składała się kaskada kolejnych kawałków.^[2]

Dwa czasy nie powinny się zlewać w jeden „trzask”. Trzask, który słychać, jest już końcem kilku procesów.

Nagroda za oczywistość, która nie była oczywista

W 2006 roku Audoly i Neukirch dostali Ig Nobla z fizyki: za wgląd w to, czemu suche spaghetti przy zginaniu często pęka na więcej niż dwa kawałki.^[5] Nagroda lubi tematy, które brzmią jak żart, a siedzą w porządnym czasopiśmie. Tutaj żart i mechanika pręta naprawdę się pokrywają.

Sam list w Physical Review Letters nie jest o kuchni. Tytuł mówi o fragmentacji prętów przez kaskadę szczelin. Spaghetti jest wygodnym, tanim prętem kruchym o powtarzalnym przekroju. Ten sam mechanizm, piszą autorzy, powinien być dość odporny, bo uniwersalne rozwiązanie samopodobne nie zależy od szczegółów materiału, byle puszczenie wolnego końca było szybkie wobec czasu własnego pręta.^[1]

Nie wynika z tego, że każdy most i każda kość pękają „jak makaron”. Wynika tyle, ile da się obronić: w smukłym, kruchym pręcie zginanym aż do granicy pierwsze pęknięcie potrafi uruchomić następne przez fale zginające. Heisser i inni dopisują później tyczkę tyczkarską i włókna, jako obiekty o podobnej geometrii, nie jako dowód, że laboratorium kuchenne rozwiązało wytrzymałość konstrukcji.^[2]

Dwa kawałki, jeśli dodać skręt

Po 2005 roku zostawało pytanie, którego Feynman nie zamknął: czy da się w ogóle dostać dwa kawałki. W 2018 roku Heisser, Patil, Norbert Stoop, Emmanuel Villermaux i Jörn Dunkel odpowiedzieli w Proceedings of the National Academy of Sciences: tak, jeśli do zginania dodać skręcenie albo zmienić tempo zginania.^[2]

Praca zaczęła się jako zadanie zaliczeniowe na MIT. Heisser z drugim studentem próbowali ręcznie. Silny skręt, potem zbliżenie końców, czasem dawał dwa fragmenty. Ręka nie trzyma kątów. Heisser zbudował ramę ze ściskami: jeden obraca pręt, drugi zbliża końce. Nitki cięli do 24 cm, końce zalewali epoksydem, żeby utrzymać tarcie przy skręcie. Czyste skręcenie niszczyło ich próbki około 360°.^[2][6]

Protokół skrętu wyglądał tak. Najpierw zadany kąt, potem powolne zginanie (prędkość końców poniżej 3 mm/s) aż do pęknięcia. Przy małych skrętach wychodziły trzy i więcej kawałków, zgodnie z Feynmanem i z pracą z 2005 roku. Powyżej około 250° średnia liczba fragmentów schodziła do pęknięcia binarnego. Dane z 73 prób układają się w diagramie krzywizna-skręt wzdłuż elipsy naprężenia krytycznego.^[2]

MIT News, relacjonując te same doświadczenia, podaje też wariant „prawie pełny obrót, potem powolne zgięcie” oraz oszacowanie modelu dla nitki około 25 cm: skręt rzędu 270°.^[6] To nie jest magiczna liczba do zapamiętania przy garnku. Próg zależy od długości, średnicy i tego, jak blisko granicy czystego skrętu ktoś podchodzi. Ważniejszy jest mechanizm.

Po pierwszym pęknięciu pręt chce się wyprostować i jednocześnie odkręcić. Fala skrętu biegnie szybciej niż fala zginania i jest silnie tłumiona. W ich próbkach skręt zdąża się rozładować, zanim pakiet zginający zbierze dość krzywizny na drugi pęk. Przy dużym skręcie pierwsza katastrofa przychodzi przy mniejszej krzywiźnie, więc „odbiciu” po pęknięciu zostaje mniej paliwa.^[2][6]

To nadal nie jest sztuczka kuchenna, którą warto ćwiczyć nad okiem. W laboratorium pręt trzymają ściski, a odłamki i tak wylatują z prędkością kątową. Suche spaghetti jest kruche. Kawałki skaczą.

Wolno też działa, ale inaczej

Drugi protokół z tej samej pracy nie skręca makaronu. Zmienia tylko, jak szybko końce jadą ku sobie: od 1 mm/s do 500 mm/s, 350 prób.^[2]

Krzywizna tuż przed pierwszym pęknięciem prawie nie zależy od tej prędkości. Liczba kawałków już tak. Im szybciej, tym krótszy najmniejszy fragment: długość spada mniej więcej jak prędkość zginania w potędze minus jedna czwarta. Przy 1 mm/s pręt pękał średnio na mniej niż trzy części.^[2]

Zwykły kuchenny gest nie jest ani tak wolny, ani tak kontrolowany. Ręka zgina, czasem trochę skręca, zwykle nierówno. Dlatego anegdota Feynmana trzyma się kuchni, a dwa kawałki wychodzą w ramie z silnikiem albo przy skręcie, którego palce nie lubią utrzymać.

Popularne zdanie „spaghetti nigdy nie pęka na pół” jest więc hasłem, nie prawem. Przy czystym, niezbyt wolnym zginaniu wychodzi kaskada. Przy mocnym skręcie albo bardzo powolnym zbliżaniu końców da się dostać dwa fragmenty. Linguine, jak zauważa Dunkel, to już wstęga, nie walec, i ten model jej nie opisuje.^[6]

Okruchy, które zostają na stole

Wracam do nitek z pudełka. Suche spaghetti jest przedmiotem, który prawie każdy łamał, żeby zmieścił się do garnka. Gest wygląda na decyzję rąk: zginam, pęka, mam dwa kawałki albo nie. Ręce zadają tylko pierwsze pęknięcie. Resztę robi pręt, który nagle dostał wolny koniec i musi rozdać krzywiznę wzdłuż siebie.

Feynman miał dobry trop, że w grę wchodzą drgania, i zły obraz, jeśli myśleć o nich jak o dźwięku, który woda uciszy. Fale, które doginają makaron, są zginaniem samego pręta. Pod wodą nadal jest pręt.

Po 2005 roku wiadomo, czemu zwykłe zginanie produkuje więcej niż dwa kawałki. Po 2018 wiadomo, jak tę kaskadę przyciszyć. Żadne z tych zdań nie wymaga, żeby traktować makaron jak dowcip. Wymaga tylko, żeby nie kończyć historii na pierwszym trzasku.

Źródła i dalsza lektura

1. B. Audoly i S. Neukirch, "Fragmentation of Rods by Cascading Cracks: Why Spaghetti Does Not Break in Half". Physical Review Letters 95, 095505 (2005). Model fal zginających po puszczeniu końca, eksperyment z kamerą 1000 fps i kaskada pęknięć.
2. R. H. Heisser, V. P. Patil, N. Stoop, E. Villermaux i J. Dunkel, "Controlling fracture cascades through twisting and quenching". Proceedings of the National Academy of Sciences 115 (2018). Skręt i tempo zginania jako dwa sposoby na pęknięcie binarne; czasy nucleacji i kaskady.
3. Science News, "That's the Way the Spaghetti Crumbles". Relacja z 2005 roku: anegdota Hillisa, eksperyment „katapulty” i skrót mechanizmu Audoly'ego i Neukircha.
4. Christopher Sykes, No Ordinary Genius, W. W. Norton, 1996, s. 180-181. Wspomnienie W. Daniela Hillisa o wieczorze z Feynmanem; ten sam fragment cytuje Science News oraz przypis 31 w pracy Heissera i innych.
5. Ig Nobel Prize winners. Ig Nobel z fizyki za 2006 rok dla Audoly'ego i Neukircha za pękanie suchego spaghetti.
6. MIT News, "MIT mathematicians solve age-old spaghetti mystery". Opis ramy skręcającej, kątów z prób i komentarz Jörna Dunkela o modelu walca.
7. J. R. Gladden, N. Z. Handzy, A. Belmonte i E. Villermaux, "Dynamic buckling and fragmentation in brittle rods". Physical Review Letters 94, 035503 (2005). Inny protokół: dynamiczne wyboczenie kruchych prętów, nie kuchenny gest zginania za końce.